출처 : https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
Essence of linear algebra
A geometric understanding of matrices, determinants, eigen-stuffs and more.
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안녕하세요
호떡입니다.
오늘부터 선형대수학에 대한 기초정리를 시작해보려 합니다.
이 강의를 듣기 이전에는 오로지 수식, 암기를 통한 방식으로 선형대수학을 공부해왔어서
컴퓨터 공학을 배울 때 선형대수 관련 부분이 등장하면 항상 다시 개념을 잡고, 다시 새롭게 수식을 통해 공부하는 방식으로 익혀왔었습니다.
언젠가 한번은 제대로 개념을 잡게되는 날이 오겠지,
하면서 미뤄왔었는데
마침 좋은강의를 추천받아 들어보니
짧지만 많은 선형대수의 본질적인 원리를 담고 있었습니다.
너무너무 괜찮은 강의여서, 짧기도 하니 한번 수강해보시는 것을 추천 드립니다.
정리하는 느낌으로 강의에서 배웠던 것들에 대해 포스팅 해 볼 예정입니다.
틀린 부분이 있다면, 언제든지 지적 부탁드려요!!
Chapter1은 기본적인 Vector에 대한 설명이기에
Chapter2부터 포스팅 시작하도록 하겠습니다.
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Chapter 2. Linear combinations, Span and Basis vectors
이 개념은, 선형대수학에서 가장 기초적인 원리이며 공간에 대한 이해를 바로잡을 수 있기에 반드시 알아야합니다.
1. 기저(basis)란 무엇일까?
i, j 를 좌표계의 기저(basis) 라고 한다.
위의 그림처럼, (3, -2)의 벡터가 존재한다고 가정해보자.
(3, -2)는 2개의 벡터 i와 j를 스케일링하고 더한 결과라고 볼 수 있다.
즉, 기저(basis)벡터들은 그 스칼라(좌표값)이 스케일링하는 대상이 된다.
위의 그림과 같이 특정 스칼라 값에 기저벡터를 스케일링해서 더한 것을 선형 조합이라고 한다.
그리고, 여기서 Span의 개념을 알 수 있다.
2. 스팬(span)이란 무엇일까?
쉽게 말하자면, 두 벡터의 모든 선형조합의 결과를 뜻한다.
예를들어, 3개의 벡터 v, w, u가 있다고 가정해보자.
우선 v와 w의 조합으로, 두 가지 상황을 볼 수 있다.
1] 맨 처음 놓여진 v 벡터(맨 처음 놓았다고 가정했을 때)위에 w 벡터가 놓인다면
==> Span의 정의로 보았을 때 1차원(line)밖에 생성하지 못하기 때문에 Span은 바뀌지 않는다.
2] 이전에 잇던 벡터 span위에 놓여있지 않다면
==> 2차원 공간이 span이 된다.
그럼 3차원 공간으로 확장하여 생각해보자.
3차원 공간의 확장도 마찬가지의 원리로 확인해볼 수 있다.
1] 세번째 추가한 벡터가 이전에 있던 두 벡터가 만드는 스팬에 놓여있다면
==> span이 바뀌지 않는다.
2] 1의 경우가 아니라면
==> 모든 3차원 공간이 span이 된다.
여기서 굉장히 중요한 개념인 linear dependent(선형 종속), linear independent(선형 독립)가 유도된다.
불필요한 벡터가 있어서 그 벡터를 추가해도 스팬이 더 확장되지 않을 때,
즉, 스팬의 축소 없이 하나 이상의 벡터를 제외해도 되는 경우 ==> Linear dependent (선형 종속)
반면에, 각각의 벡터가 기존 스팬에 또 다른 차원을 추가하는것이 가능하다면 ==> Linear independent (선형독립)
여기서, 잠시 생각해볼 것
"공간의 기저(basis)는 선형독립적인 벡터들의 집합으로 스팬하면 그 공간이 된다"
선형 독립적인 벡터라는 것은, 기존스팬에 또다른 차원을 추가하는 것이 가능한, 즉 아예 다른 공간을 생성할 수 있는 벡터라는 것이며 즉 선형독립적인 벡터들이 만드는 그 공간이자, 그 공간의 기저basis가 된다.
포스팅 끝!
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