출처:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
Essence of linear algebra
A geometric understanding of matrices, determinants, eigen-stuffs and more.
www.youtube.com
안녕하세요
호떡입니다.
이번엔 중요한 개념인 determinant에 대해 알아볼 것입니다.
공간변환이 되었을때, 우리는 determinant라는 개념을 통해 공간을 얼마나 확장하는지, 축소하는지를 알 수 있습니다.
따라서 깊은 설명을 진행하기 전에 기본적인 determinant에 대한 설명을 진행하도록 하겠습니다.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
왼쪽의 선형변환 행렬을 생각해보죠.
i방향으로 3만큼 증가했으며, j방향으로 2만큼 증가했네요.
이를 그림으로 그려보면, 오른쪽 그래프처럼 새로운 공간은 1*1=1 에서 2*3=6으로 증가하게 됩니다.
즉, 제시된 행렬(선형변환)은 스케일링 팩터 6으로 영역을 확장하는 것이죠.
그럼 또 다른 경우를 살펴봅시다.
위의 그림의 행렬변환을 보았을 때
i벡터는 그대로, j벡터는 (1,1)로 바뀌면서 밀어지게 되고(Shear)
이때 영역의 넓이는 여전히 1임을 알 수 있죠.
즉, 영역이 확장되지 않았습니다.
변환에서 determinant가 뜻하는 바는, 특정 지역의 크기를 팩터 x만큼 증가하냐 감소하냐를 말합니다.
예를들어 determinant가 6이라면, 오른쪽 그림과 같이 영역을 6으로 확장함을 뜻하죠.
determinant가 3이라면, 특정 지역의 크기는 팩터 3만큼 증가하게 됩니다.
그럼여기서 급습 질문!!
determinant가 음수가 나왔다는 것은 무엇을 뜻하는 걸까요?
바로 orientation, 방향과 관계가 있습니다.
계속해서 위의 그림을 보았을때,
파란색으로 그려진 basis i 벡터가
빨간색의 basis j벡터의 왼쪽으로 넘어가게 된다면
determinant < 0이 됩니다.
하지만 여전히 그것의 스칼라값은 확장된 영역의 넓이를 뜻하죠.
이해되셨나요?
그럼 또 질문!!!!!
3차원의 determinant는 무엇일까요??
다들 아시겠죠?
바로 평행육면체(parallelepiped)의 부피를 뜻합니다.
슬슬 선형대수의 기본적인 개념들에 대해 익히셨을 것이라 생각합니다.
다음시간엔 조금 더 심화적인 개념인 역행렬, 열공간과 영공간에 대해 알아보도록하겠습니다.
안녕~!~!~!