[Linear algebra] Chapter7: Inverse matrices, column space and null space

 

 

 

 

 

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab] 

 

 

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab]

 

 

 

 

안녕하세요

호떡입니다.

 

 

 

 

 

오늘은 꽤나 중요한 개념인 역행렬, 영공간, 열공간에 대해 알아보겠습니다.

 

 

 

 

바로 시작해봅시당

 

 

 

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

 

1] Inverse matrices

2] Column Space

3] Rank

4] Null Space

 

 

 

 

 

먼저 배워보기 전에 Linear system of equations (선형 방정식계) 에 대해 살펴봅시다.

 

 

 

 

 

 

우리는 변환 후 행렬 벡터 A(상수, Coefficient)를 통해 변환 후 벡터 v를 알 수 있다고 배웠습니다.

그럼 여기서, A를 어떻게 구할까요? 

 

 

 

 

 

 

 

결국 원래의 x벡터가 v벡터로 변하는거니, 두가지 아이디어를 낼 수 있습니다.

 

 

 

 

1] 공간을 축소시키는 경우 (det A = 0)

2] 공간을 축소시키지 않고 동일한 경우 (det A != 0)

 

 

 

먼저 2의 경우부터 봅시다.

 

detA != 0 이라는 것은 행렬 A가 같은 방향의 기저벡터가 아닌 확장된 span으로서의 영역을 의미합니다.

위의 그림에서 x가 A의 곱을 통해 v가 된것처럼, 반대로 v에서 A의 역을 곱해 x가 될 수 있습니다.

 

 

 

양변에 A의 역행렬을 곱해준뒤 A-1A = I가 되고, 이전벡터 x를 구할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

그럼 1의 경우를 살펴봅시다.

1의 공간을 축소시키는 경우는 det A=0, 즉 면적이 0팩터로 확장, 없어지는 것이기 때문에 같은 직선 상에서 스케일링만 되었다고 생각할 수 있습니다.

 

 

그렇다면, 뭉개진 선을 되돌려서 평면으로 만들 수 없겠지요.

 

 

 

바로 여기서, Rank의 개념이 등장합니다.

 

 

 

 

공간변환의 결과가 선(line)이라면, 즉 1차원이라면 Rank(A) = 1

2차원이라면, Rank(A)=2

 

 

 

 

 

 

Rank란, 변환 결과의 차원 수를 의미합니다.

 

 

 

 

 

 

그럼 여기서 질문!!

 

2차원 공간상에서 Rank(A)가 2일때, detA 의 값은 무엇일까요?

 

 

바로 detA != 0이 됩니다.

2차원 공간상에서 공간변환의 결과가 2차원이기 때문에, determinant는 평행사변형의 면적이 되는 것이죠.

 

즉, Full Rank상태가 됩니다.

 

 

 

그럼 3차원일때, Rank(A) = 2라면 무엇을 뜻하는 걸까요?

공간이 Collapse(축소)했음을 뜻합니다.

하지만, Rank(A) = 1만큼 붕괴된 것은 아니죠.

 

 

여기까지는 다들 이해되셨죠 ?

 

 

 

 

 

 

이어서,

행렬의 가능한 결과의 집합을 선이든, 평면이든, 3차원 공간이든지 간에 우리는 열공간이라고 부릅니다.

 

 

 

 

Zero vector(영벡터)는 어느 열공간에든지 포함됩니다.

왜냐하면, 선형변환에서는 반드시 원점이 고정되어야 하기 때문이죠.

원점으로 이동하는 벡터들의 집합을 그 행렬의 영공간(null space) or 커널(Kernel)이라고 부르게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

오늘의 포스팅은 여기까지~!