호떡의 개발일기

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

안녕하세요

호떡입니다.

오늘은 7월 6일..

밖엔 비가 추적추적 내리고 있군요..

집을 갈 생각하니 두렵습니다.

얼른 포스팅하고 집가서 쉬어야겠네요 ㅎㅎ

저번 포스팅에서는 내적을 다뤄보았는데요!

이번에는 외적을 다루어보려고 합니다.

그럼 Start~~~~~

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외적의 일반적인 개념부터 설명해볼까요??

Cross Product (외적)은 V X W로 나타낼 수 있으며, 이 값은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 됩니다.

V벡터를 기준으로 W벡터보다 오른쪽에 있으면 외적 값은 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 나오게 되죠.

순서가 중요하답니다.

V X W = - W X V가 됩니다.

쉽게 기억하는 방법은, 

i벡터와 j벡터를 떠올리면 됩니다.

i X j를 기억할때,

i가 j의 오른쪽에 있을 경우 양수가 됩니다.

앞서 설명했던 v벡터가 i벡터 위치에 와야 양수가 된다고 생각하면 기억하기 쉽겠죠?

또한 평행사변형의 넓이를 계산하는 방법은, 

선형변환의 개념을 떠올리면 됩니다.

v벡터를 행렬식의 왼쪽에 두고, w벡터를 행렬식의 오른쪽에 두어 determinant를 계산해주면 된답니다.

왜일까요?

어떤 선형변환의 determinant를 구하면, 스케일링 팩터 determinant값으로 영역을 확장하게 됩니다.

사실상 기저벡터 i,j를 v,w로 변환하는 것이고, 

i,j는 원래 정사각형의 넓이(=1)을 가지기 때문에

선형변환을 통해 평행사변형의 넓이가 될 수 있습니다.

외적값의 넓이를 어떻게 이용할 수 있을까요?

외적 값이 크면 클수록, 평행사변형의 넓이가 크다고 생각할 수 있겠죠!

그리고 벡터는 수직에 가까울 수록 넓이가 가장 넓기때문에,

넓이가 넓을 수록 두 벡터가 직각에 가깝다고도 유추할 수 있습니다.

하지만!!!!

여러분은 원래 외적이 3차원인 두 벡터를 결합해서 새로운 3차원 벡터를 만들어내는 것이라는 걸 배우셨었죠

사실 V X W는 새로운 벡터 P를 만들어내고, 이 길이는 외적값인 평행사변형의 넓이가 됩니다.

또한 새로운 벡터 p는 평행사변형의 정확히 90도, 직각이죠.

이때 방향은 아래일까요 위일까요??

바로 오른손 법칙을 이용할 수 있습니다!

ㅎㅎ..

죄송해요

제가 그림을 잘 못그려요..

쨋든!!

오른손을 펼쳐 저렇게 만들었을때

엄지손가락이 올라오는 부분이 새로운 벡터의 방향이 됩니다.

이렇게 하면 쉽게 외울 수 있겠죠?

그리고 그 벡터식은 이렇게 됩니다.

아직 외적에 대한 본질적인 이해에 대한 부분은 다루지 않았는데요,

궁금해도 좀만 참으세요!

내일 포스팅 이어하도록 하겠습니당 

잘자요 굿나잇

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안녕하세요

호떡입니다

좋은 하루 보내셨나요?

저는 오늘... 공부가 너무 안돼서 놀면서 했답니다ㅠㅠ

이렇게 나태해지면 안되는데..

낮에는 일을 하다보니 제대로 공부에 집중을 하지 못하는 것 같아요

그래도 돈은 벌어야하니~!

참 어렵네요 ㅎㅎ

요새 특히나 더워서 약간 늘어지는 감이 있는 것 같은데

여러분들도 화이팅하시길 바랍니다

오늘은 내적에 대해 포스팅할거에요!

내적은 고등학생 때부터 정말 열심히 배우던 개념이었죠ㅠㅠ

하지만 대학교 4학년이 되어서야 제대로된 이해를 할 수 있었네요 

포스팅을 통해 오늘 배운 내용을 정리해보려 합니다.

그럼 시~~작~~!

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혹시 내적이 어떤 의미를 갖고 계신지 한번 멈춰서 생각해볼까요?

뭔가 다양한 계산을 했을 때 항상 썼던 것 같은데 말이죠...

내적을 계산할때 이렇게 벡터끼리 dot product를 해서 구하는 건 너무나도 잘 알죠

하지만 기억을 더듬어보면 내적은 다음과 같은 의미를 가지고 있다는 것!!

아 ~~ 맞다

어느 한 벡터로의 투영된 다른 벡터의 길이와 이전 벡터의 길이를 곱한 것이었죠!

내적이 양수면 두 벡터가 같은 방향일 때였고,

내적이 음수면 두 벡터가 다른 방향일 때 입니다.

근데 여기서 질문!!!!!!!!!!

내적을 구할때, 계산 순서가 의미가 있었을까요??

아니죠!~

v벡터와 w벡터의 순서에 영향이 없고 값이 같습니다!

왜그럴까요?

바로 대칭성(symmetry) 때문입니다.

위의 그림의 예시처럼,

v벡터와 w벡터 사이 가운데에 점선을 그어 벡터 서로서로에게 projection하게 된다면 그 길이는 같게 됩니다.

만약 스케일링을 통해 길이가 늘어나더라도, 길이만 2배가 되었을 뿐 스케일링 전 길이는 같고, 어쩌피 v벡터와 w벡터의 값은 이전과 동일하게 되죠.

따라서 v ` w = w ` v 가 됩니다.

그러면 여기서 또 질문~!

Dot product와 투사(Projection, 투영)과는 무슨관계일까요??

이것을 이해하기 위해서는 선형 변환(Linear Transform)을 이해할 수 있어야 합니다.

바로,

다차원 => 1차원의 선형변환이죠.

벡터 v가 (4,3)이라고 할때,

이는 4i+3j로 나타낼 수 있습니다.

그럼 이것을 1차원으로 선형변환하게 된다면, 오른쪽 그림과 같이 Transform 된 1X2 벡터(변형 후 2차원 좌표계의 기저벡터)와 v벡터(2X1)를 곱해주면 됩니다.

사실상 이것은 행렬-벡터 곱셈이죠. 

그럼 임의의 벡터 u를 생각해봅시다.

임의의 벡터 u를 생각할때, 

i를 u에 투영한 길이는 u를 i에 투영한 길이와 같습니다.

즉, 투영변환을 나타내는 1X2 행렬은 그냥 u-hat의 좌표가 되는 것이죠!

임의 벡터의 투영은 이 행렬 [ux, uy]에 임의 벡터를 곱하는 것이고,

이건 계산적으로 u-hat과의 내적과 같습니다. 

결국 내적식과 같게되죠?

내적은 투영을 이해하는데 매우 유용한 기하학적 도구이며,

벡터가 같은 방향을 가르키는지를 알아내는 데도 유용한 도구입니다.

두 벡터를 '내적'한다는 것은, 두 벡터 중 하나를 변환인자로 보는 것이죠.

이해되셨나요?

그럼 오늘의 포스팅은 여기까지~!

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안녕하세요

호떡입니다.

오늘은 비정사각형 행렬에 대한 이해를 해보려합니다.

그럼 start~~~~~~~!!!!!

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이전까지의 포스팅에서는 항상 정사각형 행렬만 다뤘었죠

뭔가 이상하지 않나요?

선형대수학을 배웠을 땐 분명히 여러 shape의 행렬을 다뤘던 것 같은데 말이죠..

그냥 단순하게 생각해봅시다. 

2차원의 input이, L함수의 선형변환을 통해 3차원의 Output이 되었다고 생각해보면

변환 후 기저벡터들은 어떻게 쓸 수 있을까요???

다음과 같은 형태로 표현할 수 있겠죠.

분명히 열이 2개인 것으로 보아 변환전엔 i와 j밖에 없었는데, 변환 후 i벡터는 3차원이 됩니다.(행의 개수 3개)

신기하죠?

기하학적으로 2차원 공간을 3차원 공간으로 확장한 셈이 됩니다.

(1,0)이었던 i벡터는 2,-1,-2가 되고

(0,1)이었던 j벡터는 (0,1,1)이 됩니다.

행렬식을 보니 이해가 쉬워지죠.

그럼 여기서 질문!

3*2행렬은 어떤 의미일까요?

바로 공간의 축소를 뜻합니다. 

3개의 basis vector가 있었지만, 결론적으로 나중엔 2차원 벡터로 변환됩니다.

즉, 3차원 -> 2차원의 공간 축소라고 볼 수 있겠죠!

이해되셨나요~?

그럼 오늘의 포스팅 진짜 끝~~!!

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안녕하세요

호떡입니다.

오늘은 꽤나 중요한 개념인 역행렬, 영공간, 열공간에 대해 알아보겠습니다.

바로 시작해봅시당

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1] Inverse matrices

2] Column Space

3] Rank

4] Null Space

먼저 배워보기 전에 Linear system of equations (선형 방정식계) 에 대해 살펴봅시다.

우리는 변환 후 행렬 벡터 A(상수, Coefficient)를 통해 변환 후 벡터 v를 알 수 있다고 배웠습니다.

그럼 여기서, A를 어떻게 구할까요? 

결국 원래의 x벡터가 v벡터로 변하는거니, 두가지 아이디어를 낼 수 있습니다.

1] 공간을 축소시키는 경우 (det A = 0)

2] 공간을 축소시키지 않고 동일한 경우 (det A != 0)

먼저 2의 경우부터 봅시다.

detA != 0 이라는 것은 행렬 A가 같은 방향의 기저벡터가 아닌 확장된 span으로서의 영역을 의미합니다.

위의 그림에서 x가 A의 곱을 통해 v가 된것처럼, 반대로 v에서 A의 역을 곱해 x가 될 수 있습니다.

양변에 A의 역행렬을 곱해준뒤 A-1A = I가 되고, 이전벡터 x를 구할 수 있게 됩니다.

그럼 1의 경우를 살펴봅시다.

1의 공간을 축소시키는 경우는 det A=0, 즉 면적이 0팩터로 확장, 없어지는 것이기 때문에 같은 직선 상에서 스케일링만 되었다고 생각할 수 있습니다.

그렇다면, 뭉개진 선을 되돌려서 평면으로 만들 수 없겠지요.

바로 여기서, Rank의 개념이 등장합니다.

공간변환의 결과가 선(line)이라면, 즉 1차원이라면 Rank(A) = 1

2차원이라면, Rank(A)=2

Rank란, 변환 결과의 차원 수를 의미합니다.

그럼 여기서 질문!!

2차원 공간상에서 Rank(A)가 2일때, detA 의 값은 무엇일까요?

바로 detA != 0이 됩니다.

2차원 공간상에서 공간변환의 결과가 2차원이기 때문에, determinant는 평행사변형의 면적이 되는 것이죠.

즉, Full Rank상태가 됩니다.

그럼 3차원일때, Rank(A) = 2라면 무엇을 뜻하는 걸까요?

공간이 Collapse(축소)했음을 뜻합니다.

하지만, Rank(A) = 1만큼 붕괴된 것은 아니죠.

여기까지는 다들 이해되셨죠 ?

이어서,

행렬의 가능한 결과의 집합을 선이든, 평면이든, 3차원 공간이든지 간에 우리는 열공간이라고 부릅니다.

Zero vector(영벡터)는 어느 열공간에든지 포함됩니다.

왜냐하면, 선형변환에서는 반드시 원점이 고정되어야 하기 때문이죠.

원점으로 이동하는 벡터들의 집합을 그 행렬의 영공간(null space) or 커널(Kernel)이라고 부르게 됩니다.

오늘의 포스팅은 여기까지~!

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안녕하세요

호떡입니다.

이번엔 중요한 개념인 determinant에 대해 알아볼 것입니다.

공간변환이 되었을때, 우리는 determinant라는 개념을 통해 공간을 얼마나 확장하는지, 축소하는지를 알 수 있습니다.

따라서 깊은 설명을 진행하기 전에 기본적인 determinant에 대한 설명을 진행하도록 하겠습니다. 

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왼쪽의 선형변환 행렬을 생각해보죠.

i방향으로 3만큼 증가했으며, j방향으로 2만큼 증가했네요.

이를 그림으로 그려보면, 오른쪽 그래프처럼 새로운 공간은 1*1=1 에서 2*3=6으로 증가하게 됩니다.

즉, 제시된 행렬(선형변환)은 스케일링 팩터 6으로 영역을 확장하는 것이죠.

그럼 또 다른 경우를 살펴봅시다.

위의 그림의 행렬변환을 보았을 때

 i벡터는 그대로, j벡터는 (1,1)로 바뀌면서 밀어지게 되고(Shear)

이때 영역의 넓이는 여전히 1임을 알 수 있죠.

즉, 영역이 확장되지 않았습니다.

변환에서 determinant가 뜻하는 바는, 특정 지역의 크기를 팩터 x만큼 증가하냐 감소하냐를 말합니다.

예를들어 determinant가 6이라면, 오른쪽 그림과 같이 영역을 6으로 확장함을 뜻하죠.

determinant가 3이라면, 특정 지역의 크기는 팩터 3만큼 증가하게 됩니다. 

그럼여기서 급습 질문!!

determinant가 음수가 나왔다는 것은 무엇을 뜻하는 걸까요?

바로 orientation, 방향과 관계가 있습니다. 

계속해서 위의 그림을 보았을때,

파란색으로 그려진 basis i 벡터가

빨간색의 basis j벡터의 왼쪽으로 넘어가게 된다면

determinant < 0이 됩니다.

하지만 여전히 그것의 스칼라값은 확장된 영역의 넓이를 뜻하죠.

이해되셨나요?

그럼 또 질문!!!!!

3차원의 determinant는 무엇일까요??

다들 아시겠죠?

바로 평행육면체(parallelepiped)의 부피를 뜻합니다.

슬슬 선형대수의 기본적인 개념들에 대해 익히셨을 것이라 생각합니다.

다음시간엔 조금 더 심화적인 개념인 역행렬, 열공간과 영공간에 대해 알아보도록하겠습니다.

안녕~!~!~!

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안녕하세요

호떡입니다.

이번 챕터는 분량이 작아서

바로 시작해 보도록 할게요~!

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저번 포스팅에서 무엇을 배웠나요~?

행렬곱셈을 배웠죠!!

기억안나는 분들은 이전 포스팅 참고하세요 ♥

행렬곱셈을 배울때, 우리는 오직 2차원에서만 공간변환을 적용해보았습니다.

그러면 여기서 질문!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3차원 이상의 공간은 어떻게 표현해야할까요...???

이번 포스팅에서는 2차원 이상의 차원에 이 개념들을 적용해서 알아볼것입니다.

우선 3차원 선형변환을 봅시다.

선형변환함수 L을 통해, 이전 벡터 (2,6,-1)이 (3,2,0)이 된 것을 확인할 수 있습니다.

그럼 우리는 3차원 basis vector (기저벡터)를 통해 변환 후 좌표를 알게되면, 2차원에서와 마찬가지로 Input vector가 변환 후 어떻게 변하는 지 알 수 있겠죠!!!!!!!!!!!!! 

3차원의 basis vector는 i, j, k로 표현이 가능합니다.

그럼 위의 그림에서 오른쪽 행렬이 2차원에서와 마찬가지로 변환 후의 i, j, k 벡터임을 알 수 있죠.

결국엔 2차원과 똑같이 행렬의 곱셈을 통해 여러번의 공간변환을 적용할 수 있습니다.

그럼여기서 질문~!

4차원은 어떻게 계산해야할까요?

2,3 차원과 마찬가지로, 4차원은 우리가 보고 생각할 수는 없지만, 똑같이 하나의 기저벡터가 추가되었다고 생각하고

그대로 적용하면 됩니다.

오늘의 포스팅 끝~!

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안녕하세요

호떡입니다.

오늘 날씨가 무척이나 덥네요ㅠ

에어컨 바람과 날씨의 더움이 왔다갔다하면서

자칫하면 감기에 걸릴수도있는데

몸 조심하시길 바랍니다ㅠㅠ

그럼 chapter 4 시작해볼까요~?

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이전포스팅에 무엇을 배웠는지 생각해봅시다.

이전 포스팅 : https://htuck-dev.tistory.com/5

저번시간에 배웠던 것은,

선형변환은 "함수"이며

행렬은 공간의 변환으로 생각해야한다는 것 이었습니다.

공간 후 벡터 i와 j 기억하시죠?

그러면 여기서 질문!!!!!!!!!

공간을 여러번 변환하려면 어떻게 해야 할까요?

음.. 감이 오질 않죠?

오늘 배울 것은, 제목에도 있지만

Matrix multiplication as composition 

즉, 합성으로서의 행렬곱셈입니다. 

이제는 두개 이상의 선형변환의 합성을 다룰 것입니다.

즉, 두개 이상의 선형변환의 합성은 새로 생겨난 선형변환 하나가 되는 셈이죠.

이제 뭔가 느낌이 오죠?

두개 이상의 선형변환은, 연속되는 변환이 아닌 하나의 변환으로 표현이 가능합니다. 

위 두개의 행렬 A, B를 생각해보죠.

여러분은 행렬이 공간의 변환을 말한다는 것을 알았으니, 위 두개의 행렬식의 왼쪽열이 i, 오른쪽 열이 j임을 알 수 있습니다.

B행렬을 머리속으로 상상해봅시다.

원래의 i벡터는 (1,0), j는 (0,1)입니다.

그런데, 공간변환 후에는 (0,1), (-1,0)이 되네요.

즉, 벡터가 왼쪽방향으로 90도 Rotation 한 상태입니다.

선형변환의 조건을 만족하죠. (linear transformation 관련 포스팅은 이전 포스팅~!)

또한 A행렬은 , 원래의 i와 j를 shear, 즉 미는 것처럼 보여지게 됩니다.

이러한 두가지 변환을 곱하게 되면, 두 원본행렬의 곱셈이 되는거죠

함수 f(g(x))를 볼때,

g(x)를 먼저 적용하고 f를 적용하게 됩니다.

즉, 안쪽부터, 

행렬로 따지자면

오른쪽에서 왼쪽으로 공간변환을 진행하게 됩니다.

결론적으로, 우리가 익히 알고있는 이 식이

사실은 M1행렬을 통해 공간변환을 적용하고, 이후에 M2행렬을 통해 공간변환을 적용하는 것입니다.

그럼 여기서 질문타임~!

행렬의 곱셈은 결합법칙이 성립할까요?????

우리가 이 행렬곱셈의 본질을 몰랐다면, 위의 사진처럼 복잡한 식을 통해 계산으로서 증명을 하려고 했을 것입니다.

하지만, 우리가 배운것을 바탕으로 생각해보자면

(AB)C = A(BC)

어쩌피 오른쪽에서부터 공간변환을 적용하는 것이므로, 

결합법칙은 무조건 성립하게 됩니다.

C, B, A순으로 공간변환을 적용하는 것이죠

이해가 되셨나요~?

그럼 오늘의 포스팅은 여기서 끝~!

좋은 하루보내세요

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

안녕하세요

호떡입니다

오늘은 선형변환과 행렬에 대해 알아보겠습니다.

우리가 항상 자동적으로 생각하고 계산했던 행렬과 벡터의 곱셈에 대한 본질적인 이해를 해보려 합니다.

그럼 Start~~!!

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1. Linear Transformation (선형변환)이란? 

우선 단어대로 한번 생각해보자

선형 (Linear) + 변환 (Transforamation)

선형은 알겠고,

그럼 여기서, 변환은 무엇을 뜻할까?

먼저, 변환을 함수의 개념으로 접근해보자

함수는 무엇인가?

위의 그림은 함수를 나타내며, 함수는 input을 Output으로 변환해주는 역할을 한다.

즉, Transform == function으로 이해할 수 있다. 

그럼 이제 선형의 속성을 알아보자.

Transfer, 즉 function이 선형적(Linear) 이라는 것은 두 가지 속성을 의미한다.

1] 모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선

2] 원점은 변환 이후에도 여전히 원점

Grid lines remain parallel and evenly spaced == 그리드 선은 평행하고 균일한 간격을 유지합니다.

이 두가지 조건만 지킨다면, 선형 변환이라고 할 수 있다. 

예시로, (-1,2)의 v벡터를 생각해보자.

위의 그림을 보면, v벡터는 2차원의 기저벡터 i와 j의 스케일링되고 합해진 선형조합이다.

여기서 v를 선형 변환하게 되면

변환 후에도 같은 선형결합을 유지하게 된다. 

그럼 여기서 나의 목적은 무엇일까?

변환 후 벡터 v를 알고 싶은 것이다. 

그럼 변환 후 v는 어떻게 구할까?

바로, 변환후 기저벡터 i와 j를 알면 변환함수 f(x)를 구할 수 있다. 즉, f(x)를 알게된다면 변환 후의 v벡터를 알 수 있다. 

변환 후 좌표를 x와 y로 생각하고 정리해보자.  

위의 그림처럼 변환 후 벡터 i와 j를 알 수 있다면, x와 y벡터는 변환 전 i와 j벡터의 선형조합으로 표현되므로 최종적으로 변환 후 좌표 x와 y를 구할 수 있다.

위의 그림에서, 변환 후 벡터를 2X2 matrix로 표현 가능하다.

왼쪽 열은 변환후 i벡터, 오른쪽 열은 변환 후 j벡터이다.

궁금한 벡터가 (5, 7)이라고 했을 때, 변환 후 벡터 i와 j를 알고 있다면 우리가 익히 알던 행렬 벡터 곱셈을 통해 변환 후 좌표를 알 수 있다.

즉 변환 후 새 기저 벡터들로 스케일링하고 합한다는 개념이 된다.

우리가 익히 알고있는 행렬 벡터 곱셈이다.

행렬 벡터 곱셈은, 내가 원하는 벡터를 어떤 함수를 통해 변환하여 공간변환된 상태에서의 벡터를 구하는 것이다.

그러면 행렬을 공간의 변환으로 생각해도 되는걸까?

정답은 ..

맞다.

2차원이라고 가정했을 경우 그 공간의 basis벡터인 i와 j가 공간의 변환의 적용을 받고, 적용 받은 후의 i와 j가 행렬로 표현되는 것이다. 

오늘의 포스팅 끝~! 

어쩌다 보니 몰아서 쓰고있는데...  다음부터는 꾸준히 써야지 ㅠ