호떡의 개발일기

출처 :

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

필기본 공유해요 

알아보기 힘들겠지만, 필요하신 분들은 가져다 쓰세요

함께 따라와줘서 고마워요! 

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

안녕하세요

호떡입니다.

어느덧, 

벌써 마지막 ㅠㅠ

선형대수 정리가되었네요.

여기까지 제 게시글을 봐주셨다면..

정말 감사합니다...

이해가 안되는 부분도 많을텐데,

저는 정리 개념으로 쓴거라

위의 출처 영상 참고하셔서 공부하는 것도 좋을 것 같습니다.

강의가 별로 안길어서!!

출근길이나 퇴근길에 듣는거 강력추천합니당 

그럼 시작해볼게요~

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오늘은 가장 원론적인 것을 다룰 것입니다.

그래서 도대체 벡터란 무엇인가~~~~~~~~~!!!!!!

잠시 스크롤을 멈추고 잠깐 생각하는 시간을 가져보죠.

3

2

1

...........

다들 답을 결정하셨나요?

그럼 설명 시작하도록 하겠습니다.

저번시간에 배운 

우리는 보통 벡터를 얘기할때,

원점을 중심으로 화살표를 그립니다.

하지만 사실, 벡터는 숫자의 배열로 정의하는 게 가장 정확합니다.

숫자의 나열인 것이죠.

좌표계는 단지 기저벡터를 어떻게 정하냐에 따라 수시로 바뀌는 system입니다.

잠시 이전시간에 배운 개념을 정리해봅시다. 

determinant는 변환이 얼마나 면적을 scailing하는 지를 나타내며,

eigen vector는 변환이 일어나도 span을 벗어나지 않는 벡터인 것이죠.

이것을 어떤 system내에서 정의한 것이냐~!

바로 Linear Transform, 선형변환으로부터 정의된 것에 의해 나온 개념입니다.

도대체 선형대수학의 개념을 어디서 쓸까요?

왜 배우는 걸까요??

다음 예시를 봅시다.

우리가 아주~~~

많이보는 미분입니다.

그리고 선형변환의 성질인 Additivity, scailing과 엮어 생각해보죠.

Additivity의 성질은 선형변환 전 두 벡터를 더한 값과, 선형 변환 후 두 벡터를 더한 것은 같다 라는 뜻입니다.

scailing은 선형변환 전 후 언제든지 스칼라 값을 곱했을 때 결과 값이 같은 것 이죠.

즉, 선형변환은 합과 실수배를 보존한다고 한번에 얘기할 수 있습니다. 

이때, 잘 생각해보면 미분은 저 두 가지 성질을 다 만족합니다. 

식을 보니 이해가 되시나요?

결국 미분은 선형 system이기 때문에, 벡터의 개념을 적용해 선형변환을 마치 우리가 선형대수 풀듯이 풀 수 있습니다. 

결국 우리가 공부했던 선형변환과, 미분은 같은 종류라고 볼 수 있습니다.

그럼 벡터란 무엇일까?

현대에서는 벡터의 정의를 신경쓰지 않습니다.

단지, 이용할 뿐이죠.

조건만 선형이라면,

우리는 선형대수 시스템을 간편하게 이용할 수 있습니다.

WOW~~~

멋진 마무리였네요.

선형대수,

들여다 보니 정말 흥미로운 과목이었습니다.

다음부턴 확률론으로 돌아오도록 할게요 

뿅

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

안녕하세요

호떡입니다.

오늘은 고유벡터와 고윳값의 의미를 파헤쳐보도록 하겠습니다.

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고윳값에 대한 것은 아래 식을 통해 많이 접해보셨을 텐데요

바로 대각행렬에 람다를 곱해 determinant를 구하고,

람다값을 찾으면 그거 자체가 고윳 값이 됩니다.

하지만 고유벡터의 정의는 따로 존재하죠.

선형변환을 해도 스케일링만 되고 자신의 span을 벗어나지 않는 벡터들을

우리는 고유벡터라고 부르고, 그 회전에서의 고유벡터,  자신의 span에 남아있는 벡터를 찾을 수 있다면 그것이 바로 회전축이 됩니다.

고유값은  변환 도중 늘어나고 줄어드는 정도의 배수에 불과하죠.

이 의미를 되짚어보며 정리를 해보자면,

결국 그 span은 변하지 않으면서 람다값으로 스케일링한 결과와 같습니다.

하지만 행렬벡터 곱셈과 스칼라 벡터 곱셈은 같지 않죠.

람다값, 고윳값으로 스케일링 한다는 것은

항등행렬 I에 람다를 곱하는 것과 같습니다. 

결국 람다는, 람다 * I로 쓸수 있게되고,

양면으로 넘겨주면 (A-람다*I)v  = 0이 됩니다.

determinant가 0이 되는 것을 찾는 다는 건, 

그 공간의 차원을 낮추는 변환을 찾는 것 입니다. 

결국 det(A-람다*I)=0이 되는 람다값을 계산할 수 있게 되는 것이죠.

최종 정리 식은 다음과 같습니다. 

정말 익숙한 식이지만

이제는 다른 관점으로 이해가 되실거라 생각합니다. 

여기서 고유기저, eigen basis의 의미를 짚고 넘어가도록 하겠습니다.

고유기저란,

기저벡터가 고유벡터가 됨을 뜻합니다.

기저벡터 i,j자체가 고유벡터로 정의되는 것이죠.

이는 대각선 외에 모두 0인 행렬, 대각선 행렬이 A일 경우 해당합니다.

다음은 고윳값을 쉽고 빠르게 구하는 방법이니, 참고하시길 바랍니다.

그럼 뿅~!

출처 : 

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

안녕하세요

호떡입니다.

바로 시작해볼까요~?

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오늘은 "좌표계"의 기저벡터의 변환과 적용에 대해 알아볼 것입니다. 

벡터 3,2 를 생각해보죠.

우리는 3,2를 Basis vector, 기저벡터로 나타낼 수 있습니다.

바로 

3i + 2j 처럼 말이죠.

좌표계 뒷면에 그려지는 Grid는 (저는 복잡해서 못그렸지만 .. ㅠㅠ) 시각적 도움에 불과합니다.

하지만, 어떻게 그리던 원점은 같습니다. 

이때 원점은, 어떤 벡터를 가지고 있던 크기를 0으로 줄였을 때 의미하는 곳 입니다. 

우리가 일반적인 좌표계에서 가지고 있는 기저벡터 i,j 자체를 다른 벡터로 정하면 어떨까요?

우리 좌표계의 basis vector를 바꿔보는 거죠!

바뀐 basis vector의 세계를, 제니퍼의 관점으로 묘사해보도록 하겠습니다. 

만약 제니퍼는 b1, b2를 기저벡터로 정의하였다고 합시다. 

제니퍼가 자신의 관점에서 (-1,2)벡터 (초록색)을 그렸다고 할때, 우리의 좌표계에서는 -1,2가 어떻게 바뀔까요??

바로 선형변환의 식을 통해 구할 수 있습니다. 

제니퍼의 관점인 -1,2에, 제니퍼의 기저벡터를 변환 행렬로 생각하면 됩니다.

우리에게는 -4,1이 되는거죠.

우리의 Grid를 제니퍼의 grid 버전으로 바뀔 수도 있고,

그 반대도 됩니다.

이때 , 앞서와 반대로 변환해주고자 한다면 행렬의 역행렬을 곱해주기만 하면 됩니다. 

우리의 grid에서 정의된 3,2 를 그녀의 grid상에서 표시하려면,

우리는 역행렬을 곱해주기만 하면 됩니다.

제니퍼의 기저벡터는 선형변환 행렬이되어

제니퍼에서 정의된 x,y에 이 행렬을 곱하기만 하면

우리좌표계에서 같은 곳을 나타내는 벡터를 찾는게 가능합니다.

그러면 여러분들이 선형대수를 공부할때 많이 봤을 이 식을 이해할 수 있습니다!

천천히 생각해볼까요?

만약 90도 rotation하는 선형변환 식인 [[ 0 -1 ][ 1 0 ]]을 적용한다고 해보죠.

이때, 이 선형변환 식은 우리 좌표계에서만 90도 회전인 식이죠.

제니퍼의 그리드에 이것을 적용하면 대부분의 경우 90도 회전이 나오지 않습니다.

그렇죠?

하지만 제니퍼의 벡터에 제니퍼의 기저벡터 행렬을 곱해주면, 우리 grid에서 표현할 수 있게됩니다.

그러면 우리의 관점으로 바꿔지게 되고, 여기에는 90도 rotation 선형변환 행렬을 곱할 수 있게되죠.

하지만!

우리는 제니퍼의 그리드에 적용하고 싶은 거잖아요?

결국엔 역으로 다시 제니퍼 기저벡터의 역행렬을 곱해주면,

제니퍼의 그리드에서 90도 회전을 적용할 수 있는거죠.

그럼 이제 이식이 이해 되셨을 것이라 생각합니다. 

그럼 뿅~

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안녕하세요

호떡입니다.

주말에 신나게 ^^ 놀고왔더니

할일이 이따시만큼 쌓여있네요....

놀때 놀고, 공부할때는 공부하는게 좋다 라는 말이

가끔 똑똑한 사람들의 기만처럼 느껴질 때가 있습니다.

공부할 것은 항상 쌓여만가고,

해야할 일도 끊임없이 생기는데

모든걸 끝내고 여유를 가진다는 것은

참 한정적인 상황에서만 존재하는 것 같네요

오늘 갑자기 센치... 하군요 ....^^

빨리 시작해야겠어요!!!

오늘은 저번에 깜빡하고 정리를 못했던 외적의 기하학적 의미를 정리해보려 합니다.

Start !!~ 

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너무 오래전에 포스팅해서 다들 까먹으셨을 까봐!!

외적의 식을 한번 상기해봅시다. 

어떤 두 벡터 v와 w를 외적하게 되면 그 정사각형의 넓이와 같은 길이의 새로운 벡터 p가 생겨나는 거였죠.

그리고 식은 간단하게 아래처럼 표현할 수 있습니다.

그럼 여기서 행렬식의 첫번째 열에 i,j,k는 왜 있는 걸까요?

그 자리에 x, y, z를 넣어 생각해봅시다.

1차원 변환을 할 수 있는 1X3 matrix를 한번 생각해보죠

이는 determinant의 정의에 의해 오른쪽 식은 모든 입력벡터 x,y,z에 대해 벡터 v와 w에 정의된 평행육면체가 됩니다.

이때, x,y,z에 좌표계의 기저벡터인 i, j, k가 사용됨으로써 그 계수들이 한 벡터의 좌표로 해석된다는 의미이죠. 

결국, 

스칼라 값과 세가지 기저벡터들의 합으로써 새로운 벡터를 표현할 수 있습니다.

이게바로 외적! 인것이에요

다들 이해되셨나요~? 

오늘은 좀 짧게 준비해봤는데,

이때까지의 개념들을 잘 종합해서 살펴보면 금방 이해할 수 있을 것이라 생각합니다.

그럼 뿅!

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안녕하세요

호떡입니다!!

어제 너무너무 바빠서 포스팅을 미뤄버렸네요ㅠㅠ 

갑자기 할일들이 몰려와서..는 아니고 원래 항상 많았어서

시험은 없기때문에 마음은 편하지만 열심히 살고 있습니다 ㅎㅎ

서론이 길었네요

그럼 시작해보겠습니당~!

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저번에 외적에 대한 많은 궁금증을 뒤로한 채 포스팅을 마무리했었죠...

오늘은 크래머 공식을 기하학적으로 설명해보려 합니다.

그전에 선형변환의 내적에 대해 잠시 짚고 넘어가도록 하겠습니다.

과연 변환 전 내적과 변환 후 내적은 같을까요? 

다들 멈춰서 한번 생각해봅시다!!!

정답은...

틀립니다!!

변환 후 내적은 다를 수 있습니다.

예시를 들어 설명해보겠습니다.

위 그림이 변환 전, 

아래 그림이 변환 후 라고 생각해보죠.

여러분들 내적의 부호는 어떻게 되는지 기억하시나요?

내적은 같은 방향일 때 양수가 나옵니다.

근데 아래 그림을 보면, 두 벡터의 방향이 다르니까 음수가 나옵니다.

결국 변환 후 내적은 다릅니다.

근데, 변환 후 내적이 같은 특별한 변환도 있습니다.

바로 내적을 보존하는 변환이죠.

바로 직교변환이죠!

바로 늘어짐, 찌그러짐 또는 변형이 없는 단단한 변형이죠.

바로 아래 예시가 그러한 예시입니다.

왼쪽의 행렬은 orthogonal행렬인데요,

여기서 x, y는 위와 같이 구할 수 있습니다.

기억하시죠?

크래머 공식을 이해하기 전에, 위의 그림을 한번 봅시다.

i와 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이는, i의길이 X y로 생각할 수 있습니다.

반대로, 아래 그림은 j의 길이 X x 가 면적이 되죠.

여기까지는 이해 하셨죠?

그럼 여기서 3차원 좌표계를 한번 생각해봅시다.

어쩌피 기존 좌표계의 기저벡터 i,j,k는 길이가 1이니 면적은 1이되고, 평행사변형의 부피는 벡터가 가리키는 길이 그 자체가 됩니다. 즉, 해당 부피는 세번째 좌표인 높이와 같게되죠.

그럼 크래머 공식을 한번 이해해볼까요??

그럼 위의 행렬변환을 한번 생각해보죠.

결국 넓이는 y에서 det A만큼 늘어나게 됩니다.

이것은 detA의 정의를 보면 아시겠죠?

또한 y = area/det(A)가 되고, Area는 변환 후 벡터의 좌표와 행렬의 determinant이기 때문에

결국 y = Area/det(A) 가 성립하게 됩니다.

다시 한번 더 이해를 위해, 반대의 케이스를 봅시다.

위의 그림이 변환전, 그 다음 그림이 변환 후라고 생각해보죠.

변환 전 면적은 그림과 같이 x가 됩니다.

그리고 행렬을 통해 변환하면, 면적은 이전면적의 x에 determinant(A) 값을 곱한 것이 됩니다.

변환 후 면적은 변환 후 벡터와 변환 후 (빨간색 벡터) j벡터의 행렬의 determinant를 구하면 되겠죠

결국 x = Area / detA가 됩니다.

결국 x는 위와 같이 경험할 수 있고, 이것이 바로 크래머 공식입니다.

다들 이해되셨죠~?

그럼 오늘의 포스팅은 여기까지!

행복한 저녁 보내세요

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안녕하세요

호떡입니다.

오늘은 7월 6일..

밖엔 비가 추적추적 내리고 있군요..

집을 갈 생각하니 두렵습니다.

얼른 포스팅하고 집가서 쉬어야겠네요 ㅎㅎ

저번 포스팅에서는 내적을 다뤄보았는데요!

이번에는 외적을 다루어보려고 합니다.

그럼 Start~~~~~

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외적의 일반적인 개념부터 설명해볼까요??

Cross Product (외적)은 V X W로 나타낼 수 있으며, 이 값은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 됩니다.

V벡터를 기준으로 W벡터보다 오른쪽에 있으면 외적 값은 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 나오게 되죠.

순서가 중요하답니다.

V X W = - W X V가 됩니다.

쉽게 기억하는 방법은, 

i벡터와 j벡터를 떠올리면 됩니다.

i X j를 기억할때,

i가 j의 오른쪽에 있을 경우 양수가 됩니다.

앞서 설명했던 v벡터가 i벡터 위치에 와야 양수가 된다고 생각하면 기억하기 쉽겠죠?

또한 평행사변형의 넓이를 계산하는 방법은, 

선형변환의 개념을 떠올리면 됩니다.

v벡터를 행렬식의 왼쪽에 두고, w벡터를 행렬식의 오른쪽에 두어 determinant를 계산해주면 된답니다.

왜일까요?

어떤 선형변환의 determinant를 구하면, 스케일링 팩터 determinant값으로 영역을 확장하게 됩니다.

사실상 기저벡터 i,j를 v,w로 변환하는 것이고, 

i,j는 원래 정사각형의 넓이(=1)을 가지기 때문에

선형변환을 통해 평행사변형의 넓이가 될 수 있습니다.

외적값의 넓이를 어떻게 이용할 수 있을까요?

외적 값이 크면 클수록, 평행사변형의 넓이가 크다고 생각할 수 있겠죠!

그리고 벡터는 수직에 가까울 수록 넓이가 가장 넓기때문에,

넓이가 넓을 수록 두 벡터가 직각에 가깝다고도 유추할 수 있습니다.

하지만!!!!

여러분은 원래 외적이 3차원인 두 벡터를 결합해서 새로운 3차원 벡터를 만들어내는 것이라는 걸 배우셨었죠

사실 V X W는 새로운 벡터 P를 만들어내고, 이 길이는 외적값인 평행사변형의 넓이가 됩니다.

또한 새로운 벡터 p는 평행사변형의 정확히 90도, 직각이죠.

이때 방향은 아래일까요 위일까요??

바로 오른손 법칙을 이용할 수 있습니다!

ㅎㅎ..

죄송해요

제가 그림을 잘 못그려요..

쨋든!!

오른손을 펼쳐 저렇게 만들었을때

엄지손가락이 올라오는 부분이 새로운 벡터의 방향이 됩니다.

이렇게 하면 쉽게 외울 수 있겠죠?

그리고 그 벡터식은 이렇게 됩니다.

아직 외적에 대한 본질적인 이해에 대한 부분은 다루지 않았는데요,

궁금해도 좀만 참으세요!

내일 포스팅 이어하도록 하겠습니당 

잘자요 굿나잇

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

안녕하세요

호떡입니다

좋은 하루 보내셨나요?

저는 오늘... 공부가 너무 안돼서 놀면서 했답니다ㅠㅠ

이렇게 나태해지면 안되는데..

낮에는 일을 하다보니 제대로 공부에 집중을 하지 못하는 것 같아요

그래도 돈은 벌어야하니~!

참 어렵네요 ㅎㅎ

요새 특히나 더워서 약간 늘어지는 감이 있는 것 같은데

여러분들도 화이팅하시길 바랍니다

오늘은 내적에 대해 포스팅할거에요!

내적은 고등학생 때부터 정말 열심히 배우던 개념이었죠ㅠㅠ

하지만 대학교 4학년이 되어서야 제대로된 이해를 할 수 있었네요 

포스팅을 통해 오늘 배운 내용을 정리해보려 합니다.

그럼 시~~작~~!

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혹시 내적이 어떤 의미를 갖고 계신지 한번 멈춰서 생각해볼까요?

뭔가 다양한 계산을 했을 때 항상 썼던 것 같은데 말이죠...

내적을 계산할때 이렇게 벡터끼리 dot product를 해서 구하는 건 너무나도 잘 알죠

하지만 기억을 더듬어보면 내적은 다음과 같은 의미를 가지고 있다는 것!!

아 ~~ 맞다

어느 한 벡터로의 투영된 다른 벡터의 길이와 이전 벡터의 길이를 곱한 것이었죠!

내적이 양수면 두 벡터가 같은 방향일 때였고,

내적이 음수면 두 벡터가 다른 방향일 때 입니다.

근데 여기서 질문!!!!!!!!!!

내적을 구할때, 계산 순서가 의미가 있었을까요??

아니죠!~

v벡터와 w벡터의 순서에 영향이 없고 값이 같습니다!

왜그럴까요?

바로 대칭성(symmetry) 때문입니다.

위의 그림의 예시처럼,

v벡터와 w벡터 사이 가운데에 점선을 그어 벡터 서로서로에게 projection하게 된다면 그 길이는 같게 됩니다.

만약 스케일링을 통해 길이가 늘어나더라도, 길이만 2배가 되었을 뿐 스케일링 전 길이는 같고, 어쩌피 v벡터와 w벡터의 값은 이전과 동일하게 되죠.

따라서 v ` w = w ` v 가 됩니다.

그러면 여기서 또 질문~!

Dot product와 투사(Projection, 투영)과는 무슨관계일까요??

이것을 이해하기 위해서는 선형 변환(Linear Transform)을 이해할 수 있어야 합니다.

바로,

다차원 => 1차원의 선형변환이죠.

벡터 v가 (4,3)이라고 할때,

이는 4i+3j로 나타낼 수 있습니다.

그럼 이것을 1차원으로 선형변환하게 된다면, 오른쪽 그림과 같이 Transform 된 1X2 벡터(변형 후 2차원 좌표계의 기저벡터)와 v벡터(2X1)를 곱해주면 됩니다.

사실상 이것은 행렬-벡터 곱셈이죠. 

그럼 임의의 벡터 u를 생각해봅시다.

임의의 벡터 u를 생각할때, 

i를 u에 투영한 길이는 u를 i에 투영한 길이와 같습니다.

즉, 투영변환을 나타내는 1X2 행렬은 그냥 u-hat의 좌표가 되는 것이죠!

임의 벡터의 투영은 이 행렬 [ux, uy]에 임의 벡터를 곱하는 것이고,

이건 계산적으로 u-hat과의 내적과 같습니다. 

결국 내적식과 같게되죠?

내적은 투영을 이해하는데 매우 유용한 기하학적 도구이며,

벡터가 같은 방향을 가르키는지를 알아내는 데도 유용한 도구입니다.

두 벡터를 '내적'한다는 것은, 두 벡터 중 하나를 변환인자로 보는 것이죠.

이해되셨나요?

그럼 오늘의 포스팅은 여기까지~!