[Linear algebra] Chapter 13: Change of basis

 

 

출처 : 

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

Essence of linear algebra

 

 

 

 

 

안녕하세요

호떡입니다.

 

 

바로 시작해볼까요~?

 

 

 

 

 

 

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오늘은 "좌표계"의 기저벡터의 변환과 적용에 대해 알아볼 것입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

벡터 3,2 를 생각해보죠.

우리는 3,2를 Basis vector, 기저벡터로 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

 

바로 

3i + 2j 처럼 말이죠.

 

 

 

 

 

 

좌표계 뒷면에 그려지는 Grid는 (저는 복잡해서 못그렸지만 .. ㅠㅠ) 시각적 도움에 불과합니다.

하지만, 어떻게 그리던 원점은 같습니다. 

 

 

 

 

 

 

이때 원점은, 어떤 벡터를 가지고 있던 크기를 0으로 줄였을 때 의미하는 곳 입니다. 

 

 

 

 

 

우리가 일반적인 좌표계에서 가지고 있는 기저벡터 i,j 자체를 다른 벡터로 정하면 어떨까요?

우리 좌표계의 basis vector를 바꿔보는 거죠!

 

 

 

 

 

바뀐 basis vector의 세계를, 제니퍼의 관점으로 묘사해보도록 하겠습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

만약 제니퍼는 b1, b2를 기저벡터로 정의하였다고 합시다. 

제니퍼가 자신의 관점에서 (-1,2)벡터 (초록색)을 그렸다고 할때, 우리의 좌표계에서는 -1,2가 어떻게 바뀔까요??

 

 

 

 

 

바로 선형변환의 식을 통해 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

 

제니퍼의 관점인 -1,2에, 제니퍼의 기저벡터를 변환 행렬로 생각하면 됩니다.

우리에게는 -4,1이 되는거죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

우리의 Grid를 제니퍼의 grid 버전으로 바뀔 수도 있고,

그 반대도 됩니다.

 

이때 , 앞서와 반대로 변환해주고자 한다면 행렬의 역행렬을 곱해주기만 하면 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

우리의 grid에서 정의된 3,2 를 그녀의 grid상에서 표시하려면,

우리는 역행렬을 곱해주기만 하면 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

제니퍼의 기저벡터는 선형변환 행렬이되어

제니퍼에서 정의된 x,y에 이 행렬을 곱하기만 하면

우리좌표계에서 같은 곳을 나타내는 벡터를 찾는게 가능합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그러면 여러분들이 선형대수를 공부할때 많이 봤을 이 식을 이해할 수 있습니다!

 

 

 

 

천천히 생각해볼까요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

만약 90도 rotation하는 선형변환 식인 [[ 0 -1 ][ 1 0 ]]을 적용한다고 해보죠.

이때, 이 선형변환 식은 우리 좌표계에서만 90도 회전인 식이죠.

제니퍼의 그리드에 이것을 적용하면 대부분의 경우 90도 회전이 나오지 않습니다.

그렇죠?

 

 

하지만 제니퍼의 벡터에 제니퍼의 기저벡터 행렬을 곱해주면, 우리 grid에서 표현할 수 있게됩니다.

그러면 우리의 관점으로 바꿔지게 되고, 여기에는 90도 rotation 선형변환 행렬을 곱할 수 있게되죠.

하지만!

우리는 제니퍼의 그리드에 적용하고 싶은 거잖아요?

 

결국엔 역으로 다시 제니퍼 기저벡터의 역행렬을 곱해주면,

제니퍼의 그리드에서 90도 회전을 적용할 수 있는거죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

그럼 이제 이식이 이해 되셨을 것이라 생각합니다. 

 

그럼 뿅~