호떡의 개발일기

출처:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

안녕하세요

호떡입니다

오늘은 선형변환과 행렬에 대해 알아보겠습니다.

우리가 항상 자동적으로 생각하고 계산했던 행렬과 벡터의 곱셈에 대한 본질적인 이해를 해보려 합니다.

그럼 Start~~!!

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1. Linear Transformation (선형변환)이란? 

우선 단어대로 한번 생각해보자

선형 (Linear) + 변환 (Transforamation)

선형은 알겠고,

그럼 여기서, 변환은 무엇을 뜻할까?

먼저, 변환을 함수의 개념으로 접근해보자

함수는 무엇인가?

위의 그림은 함수를 나타내며, 함수는 input을 Output으로 변환해주는 역할을 한다.

즉, Transform == function으로 이해할 수 있다. 

그럼 이제 선형의 속성을 알아보자.

Transfer, 즉 function이 선형적(Linear) 이라는 것은 두 가지 속성을 의미한다.

1] 모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선

2] 원점은 변환 이후에도 여전히 원점

Grid lines remain parallel and evenly spaced == 그리드 선은 평행하고 균일한 간격을 유지합니다.

이 두가지 조건만 지킨다면, 선형 변환이라고 할 수 있다. 

예시로, (-1,2)의 v벡터를 생각해보자.

위의 그림을 보면, v벡터는 2차원의 기저벡터 i와 j의 스케일링되고 합해진 선형조합이다.

여기서 v를 선형 변환하게 되면

변환 후에도 같은 선형결합을 유지하게 된다. 

그럼 여기서 나의 목적은 무엇일까?

변환 후 벡터 v를 알고 싶은 것이다. 

그럼 변환 후 v는 어떻게 구할까?

바로, 변환후 기저벡터 i와 j를 알면 변환함수 f(x)를 구할 수 있다. 즉, f(x)를 알게된다면 변환 후의 v벡터를 알 수 있다. 

변환 후 좌표를 x와 y로 생각하고 정리해보자.  

위의 그림처럼 변환 후 벡터 i와 j를 알 수 있다면, x와 y벡터는 변환 전 i와 j벡터의 선형조합으로 표현되므로 최종적으로 변환 후 좌표 x와 y를 구할 수 있다.

위의 그림에서, 변환 후 벡터를 2X2 matrix로 표현 가능하다.

왼쪽 열은 변환후 i벡터, 오른쪽 열은 변환 후 j벡터이다.

궁금한 벡터가 (5, 7)이라고 했을 때, 변환 후 벡터 i와 j를 알고 있다면 우리가 익히 알던 행렬 벡터 곱셈을 통해 변환 후 좌표를 알 수 있다.

즉 변환 후 새 기저 벡터들로 스케일링하고 합한다는 개념이 된다.

우리가 익히 알고있는 행렬 벡터 곱셈이다.

행렬 벡터 곱셈은, 내가 원하는 벡터를 어떤 함수를 통해 변환하여 공간변환된 상태에서의 벡터를 구하는 것이다.

그러면 행렬을 공간의 변환으로 생각해도 되는걸까?

정답은 ..

맞다.

2차원이라고 가정했을 경우 그 공간의 basis벡터인 i와 j가 공간의 변환의 적용을 받고, 적용 받은 후의 i와 j가 행렬로 표현되는 것이다. 

오늘의 포스팅 끝~! 

어쩌다 보니 몰아서 쓰고있는데...  다음부터는 꾸준히 써야지 ㅠ