[Linear algebra] Chapter4: Matrix multiplication as composition

 

 

 

 

출처:

 

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 

Essence of linear algebra

 

 

 

 

 

안녕하세요

호떡입니다.

 

 

 

 

 

 

오늘 날씨가 무척이나 덥네요ㅠ

 

에어컨 바람과 날씨의 더움이 왔다갔다하면서

자칫하면 감기에 걸릴수도있는데

 

 

 

몸 조심하시길 바랍니다ㅠㅠ

 

 

 

그럼 chapter 4 시작해볼까요~?

 

 

 

 

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이전포스팅에 무엇을 배웠는지 생각해봅시다.

이전 포스팅 : https://htuck-dev.tistory.com/5

[Linear algebra] Chapter3: Linear Transformers and Matrices

 

 

저번시간에 배웠던 것은,

선형변환은 "함수"이며

행렬은 공간의 변환으로 생각해야한다는 것 이었습니다.

 

공간 후 벡터 i와 j 기억하시죠?

 

 

 

그러면 여기서 질문!!!!!!!!!

 

 

 

 

공간을 여러번 변환하려면 어떻게 해야 할까요?

음.. 감이 오질 않죠?

 

 

 

오늘 배울 것은, 제목에도 있지만

Matrix multiplication as composition 

즉, 합성으로서의 행렬곱셈입니다. 

 

 

 

 

이제는 두개 이상의 선형변환의 합성을 다룰 것입니다.

즉, 두개 이상의 선형변환의 합성은 새로 생겨난 선형변환 하나가 되는 셈이죠.

 

 

 

이제 뭔가 느낌이 오죠?

 

 

 

두개 이상의 선형변환은, 연속되는 변환이 아닌 하나의 변환으로 표현이 가능합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위 두개의 행렬 A, B를 생각해보죠.

여러분은 행렬이 공간의 변환을 말한다는 것을 알았으니, 위 두개의 행렬식의 왼쪽열이 i, 오른쪽 열이 j임을 알 수 있습니다.

 

 

 

B행렬을 머리속으로 상상해봅시다.

 

 

 

원래의 i벡터는 (1,0), j는 (0,1)입니다.

그런데, 공간변환 후에는 (0,1), (-1,0)이 되네요.

 

 

 

즉, 벡터가 왼쪽방향으로 90도 Rotation 한 상태입니다.

 

 

 

 

선형변환의 조건을 만족하죠. (linear transformation 관련 포스팅은 이전 포스팅~!)

 

 

 

 

 

또한 A행렬은 , 원래의 i와 j를 shear, 즉 미는 것처럼 보여지게 됩니다.

 

이러한 두가지 변환을 곱하게 되면, 두 원본행렬의 곱셈이 되는거죠

 

 

함수 f(g(x))를 볼때,

g(x)를 먼저 적용하고 f를 적용하게 됩니다.

즉, 안쪽부터, 

행렬로 따지자면

오른쪽에서 왼쪽으로 공간변환을 진행하게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

결론적으로, 우리가 익히 알고있는 이 식이

사실은 M1행렬을 통해 공간변환을 적용하고, 이후에 M2행렬을 통해 공간변환을 적용하는 것입니다.

 

 

 

 

 

 

그럼 여기서 질문타임~!

 

 

행렬의 곱셈은 결합법칙이 성립할까요?????

 

우리가 이 행렬곱셈의 본질을 몰랐다면, 위의 사진처럼 복잡한 식을 통해 계산으로서 증명을 하려고 했을 것입니다.

하지만, 우리가 배운것을 바탕으로 생각해보자면

 

(AB)C = A(BC)

어쩌피 오른쪽에서부터 공간변환을 적용하는 것이므로, 

결합법칙은 무조건 성립하게 됩니다.

C, B, A순으로 공간변환을 적용하는 것이죠

 

 

 

이해가 되셨나요~?

 

 

 

 

 

그럼 오늘의 포스팅은 여기서 끝~!

좋은 하루보내세요