[Linear algebra] Chapter10: Cross Product
출처:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
Essence of linear algebra
A geometric understanding of matrices, determinants, eigen-stuffs and more.
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안녕하세요
호떡입니다.
오늘은 7월 6일..
밖엔 비가 추적추적 내리고 있군요..
집을 갈 생각하니 두렵습니다.
얼른 포스팅하고 집가서 쉬어야겠네요 ㅎㅎ
저번 포스팅에서는 내적을 다뤄보았는데요!
이번에는 외적을 다루어보려고 합니다.
그럼 Start~~~~~
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외적의 일반적인 개념부터 설명해볼까요??
Cross Product (외적)은 V X W로 나타낼 수 있으며, 이 값은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 됩니다.
V벡터를 기준으로 W벡터보다 오른쪽에 있으면 외적 값은 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 나오게 되죠.
순서가 중요하답니다.
V X W = - W X V가 됩니다.
쉽게 기억하는 방법은,
i벡터와 j벡터를 떠올리면 됩니다.
i X j를 기억할때,
i가 j의 오른쪽에 있을 경우 양수가 됩니다.
앞서 설명했던 v벡터가 i벡터 위치에 와야 양수가 된다고 생각하면 기억하기 쉽겠죠?
또한 평행사변형의 넓이를 계산하는 방법은,
선형변환의 개념을 떠올리면 됩니다.
v벡터를 행렬식의 왼쪽에 두고, w벡터를 행렬식의 오른쪽에 두어 determinant를 계산해주면 된답니다.
왜일까요?
어떤 선형변환의 determinant를 구하면, 스케일링 팩터 determinant값으로 영역을 확장하게 됩니다.
사실상 기저벡터 i,j를 v,w로 변환하는 것이고,
i,j는 원래 정사각형의 넓이(=1)을 가지기 때문에
선형변환을 통해 평행사변형의 넓이가 될 수 있습니다.
외적값의 넓이를 어떻게 이용할 수 있을까요?
외적 값이 크면 클수록, 평행사변형의 넓이가 크다고 생각할 수 있겠죠!
그리고 벡터는 수직에 가까울 수록 넓이가 가장 넓기때문에,
넓이가 넓을 수록 두 벡터가 직각에 가깝다고도 유추할 수 있습니다.
하지만!!!!
여러분은 원래 외적이 3차원인 두 벡터를 결합해서 새로운 3차원 벡터를 만들어내는 것이라는 걸 배우셨었죠
사실 V X W는 새로운 벡터 P를 만들어내고, 이 길이는 외적값인 평행사변형의 넓이가 됩니다.
또한 새로운 벡터 p는 평행사변형의 정확히 90도, 직각이죠.
이때 방향은 아래일까요 위일까요??
바로 오른손 법칙을 이용할 수 있습니다!
ㅎㅎ..
죄송해요
제가 그림을 잘 못그려요..
쨋든!!
오른손을 펼쳐 저렇게 만들었을때
엄지손가락이 올라오는 부분이 새로운 벡터의 방향이 됩니다.
이렇게 하면 쉽게 외울 수 있겠죠?
그리고 그 벡터식은 이렇게 됩니다.
아직 외적에 대한 본질적인 이해에 대한 부분은 다루지 않았는데요,
궁금해도 좀만 참으세요!
내일 포스팅 이어하도록 하겠습니당
잘자요 굿나잇
