[Linear algebra] Chapter9: Dot products and duality
출처:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
Essence of linear algebra
A geometric understanding of matrices, determinants, eigen-stuffs and more.
www.youtube.com
안녕하세요
호떡입니다
좋은 하루 보내셨나요?
저는 오늘... 공부가 너무 안돼서 놀면서 했답니다ㅠㅠ
이렇게 나태해지면 안되는데..
낮에는 일을 하다보니 제대로 공부에 집중을 하지 못하는 것 같아요
그래도 돈은 벌어야하니~!
참 어렵네요 ㅎㅎ
요새 특히나 더워서 약간 늘어지는 감이 있는 것 같은데
여러분들도 화이팅하시길 바랍니다
오늘은 내적에 대해 포스팅할거에요!
내적은 고등학생 때부터 정말 열심히 배우던 개념이었죠ㅠㅠ
하지만 대학교 4학년이 되어서야 제대로된 이해를 할 수 있었네요
포스팅을 통해 오늘 배운 내용을 정리해보려 합니다.
그럼 시~~작~~!
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혹시 내적이 어떤 의미를 갖고 계신지 한번 멈춰서 생각해볼까요?
뭔가 다양한 계산을 했을 때 항상 썼던 것 같은데 말이죠...
내적을 계산할때 이렇게 벡터끼리 dot product를 해서 구하는 건 너무나도 잘 알죠
하지만 기억을 더듬어보면 내적은 다음과 같은 의미를 가지고 있다는 것!!
아 ~~ 맞다
어느 한 벡터로의 투영된 다른 벡터의 길이와 이전 벡터의 길이를 곱한 것이었죠!
내적이 양수면 두 벡터가 같은 방향일 때였고,
내적이 음수면 두 벡터가 다른 방향일 때 입니다.
근데 여기서 질문!!!!!!!!!!
내적을 구할때, 계산 순서가 의미가 있었을까요??
아니죠!~
v벡터와 w벡터의 순서에 영향이 없고 값이 같습니다!
왜그럴까요?
바로 대칭성(symmetry) 때문입니다.
위의 그림의 예시처럼,
v벡터와 w벡터 사이 가운데에 점선을 그어 벡터 서로서로에게 projection하게 된다면 그 길이는 같게 됩니다.
만약 스케일링을 통해 길이가 늘어나더라도, 길이만 2배가 되었을 뿐 스케일링 전 길이는 같고, 어쩌피 v벡터와 w벡터의 값은 이전과 동일하게 되죠.
따라서 v ` w = w ` v 가 됩니다.
그러면 여기서 또 질문~!
Dot product와 투사(Projection, 투영)과는 무슨관계일까요??
이것을 이해하기 위해서는 선형 변환(Linear Transform)을 이해할 수 있어야 합니다.
바로,
다차원 => 1차원의 선형변환이죠.
벡터 v가 (4,3)이라고 할때,
이는 4i+3j로 나타낼 수 있습니다.
그럼 이것을 1차원으로 선형변환하게 된다면, 오른쪽 그림과 같이 Transform 된 1X2 벡터(변형 후 2차원 좌표계의 기저벡터)와 v벡터(2X1)를 곱해주면 됩니다.
사실상 이것은 행렬-벡터 곱셈이죠.
그럼 임의의 벡터 u를 생각해봅시다.
임의의 벡터 u를 생각할때,
i를 u에 투영한 길이는 u를 i에 투영한 길이와 같습니다.
즉, 투영변환을 나타내는 1X2 행렬은 그냥 u-hat의 좌표가 되는 것이죠!
임의 벡터의 투영은 이 행렬 [ux, uy]에 임의 벡터를 곱하는 것이고,
이건 계산적으로 u-hat과의 내적과 같습니다.
결국 내적식과 같게되죠?
내적은 투영을 이해하는데 매우 유용한 기하학적 도구이며,
벡터가 같은 방향을 가르키는지를 알아내는 데도 유용한 도구입니다.
두 벡터를 '내적'한다는 것은, 두 벡터 중 하나를 변환인자로 보는 것이죠.
이해되셨나요?
그럼 오늘의 포스팅은 여기까지~!